GEOMETRÍA 3
¿Qué son las líneas?
Cualquier línea está compuesta por puntos, que es la unidad gráfica mínima.
Una serie de puntos que se sitúan uno junto al otro dan lugar a un trazo continuo, al que llamamos línea.
Cuando los puntos siguen siempre la misma dirección, forman una línea recta. Imagina que pudiésemos ver cada uno de los puntos que forman una línea recta separados, entonces las veríamos así.
Cuando los puntos, aun siguiendo una continuidad, cambian constantemente de dirección, forman una línea curva. Si pudiésemos ver los puntos de una línea curva separados, sería algo así.
Línea recta
Es una sucesión de infinitos puntos (no tiene principio ni fin, es decir, no tiene límites) en la que los puntos están trazados en una misma dirección.
as líneas rectas son infinitas, por lo que nunca podremos pintar una línea recta completa, solo un trocito, el resto tendremos que imaginarlo.
Línea curva
Es una sucesión de infinitos puntos que cambian continuamente de dirección.
En las definiciones hablamos sobre la dirección de la alineación que los puntos de las líneas deben seguir pero, ¿qué quiere decir eso exactamente?
La siguiente imagen nos ayudará a entenderlo mejor.
Si nos fijamos en las flechas sobre los puntos azules (línea recta), podemos ver que un punto mantiene exactamente la misma dirección que el anterior, sin variar. Las flechas no cambian de dirección.
Sin embargo, la dirección de las flechas con los puntos naranjas (línea curva), no se mantiene constante. Y esta es la diferencia entre las líneas rectas y líneas curvas.
¡Pero esta no es la única forma de hacerlo! La forma original (la que se utiliza hoy en día en matemáticas) es más parecida a la que utilizó Euclides. Piensa en dos puntos encima de un papel. ¿De cuántas maneras puedes llegar desde uno hasta otro?
Si no hay obstáculos podemos llegar de muchísimas formas… por ejemplo:
¡Y muchas más! ¿Verdad? Ahora la pregunta clave, ¿qué línea, de entre todas las que podemos dibujar, es la más corta? Es decir, ¿cuál es el camino más corto que va de A hasta B? ¡Eso es! La última línea, la azul. Así encontramos otra manera de definir la línea recta, la que da el camino más corto entre dos puntos:
Entre dos puntos, la línea que los une es recta si es el camino más corto entre ellos.
Si no es el camino más corto, entonces no es una línea recta.
¡Espera! ¿Qué pasa con la segunda línea que hemos dibujado? Este es un caso especial, porque decimos que no es una sino varias líneas.
- La que une A con C
- La que une C con D
- La que une D con E
- La que une E con B
Este caso recibe el nombre de linea poligonal.
Si quieres saber más, puedes acceder a las siguientes entradas en las que escribimos sobre la línea recta y sobre la línea curva.
Fíjate que decíamos antes que la Geometría de Euclides era una geometría plana. Si los puntos A y B de antes estuvieran en la superficie de una esfera -por ejemplo, una pelota- no podrías trazar una línea recta entre ellos sin atravesarla, ¡te quedarías sin pelota!
Tipos de líneas rectas en el espacio según la disposición
Línea horizontal
Las líneas horizontales son aquellas que tienen la dirección de la línea del horizonte. Se desplazan de derecha a izquierda y viceversa, además de ser perpendiculares (en ángulo de 90 grados) a la línea vertical.
Línea vertical
Las líneas verticales son aquellas cuya trayectoria se realiza en dirección arriba – abajo, o a la inversa.
Línea oblicua
Las líneas oblicuas son las que no tienen la dirección vertical ni horizontal. Ni forman ángulos rectos al cruzarse con éstas.
Todas las líneas rectas dividen el plano en dos partes. Para entendernos, si dibujas una línea recta en un folio -y no lo haces exactamente por uno de los bordes- tendrás el folio dividido en dos. Si es una línea horizontal, la parte de arriba y la de abajo, si es una línea vertical, la de la izquierda y la de la derecha.
Tipos de líneas rectas según la posición entre ellas
Líneas rectas paralelas
Las líneas paralelas se encuentran en un mismo plano y mantienen una cierta distancia entre sí, pero nunca se cruzan, ni se acercan ni llegan a tocarse en ningún punto, ni siquiera sus prolongaciones.
Un ejemplo de líneas paralelas serían las vías del tren, aunque parezca que se tocan a lo lejos. ¿Has oído alguna vez que las líneas rectas se tocan en el infinito? Es por esa sensación de que las vías del tren se van acercando, pero no es verdad, además, el infinito no es un punto, así que decir que se tocan en el infinito es una manera curiosa de decir que no se tocan nunca.
Líneas rectas secantes
Las líneas secantes se cortan en un punto. Al cortarse dividen el plano en 4 regiones, por eso decimos que forman 4 ángulos.
Líneas rectas perpendiculares
Las líneas perpendiculares son un caso particular de líneas secantes, estas además de cortarse en un punto y forman cuatro ángulos rectos (ángulo de 90 grados).
Líneas abiertas
Sabemos que una línea es abierta porque sus extremos no se unen.
Líneas cerradas
Por otro lado, las líneas cerradas las podemos dibujar sin levantar el lápiz del papel empezando en un punto y terminando en ése mismo punto.
Línea recta abierta
Es la sucesión continua de puntos en una sola dimensión. También es el camino más corto entre dos puntos.
Línea curva abierta
Los puntos que contiene la línea siempre están cambiando de dirección.
Línea poligonal abierta
Está formada por más de una línea recta abierta con direcciones diferentes. Estas líneas tienen la siguiente forma de zig zag o partes de figuras geometricas
Línea mixta abierta
Es una mezcla de líneas curvas abiertas y líneas rectas abiertas.
Líneas rectas, el segmento y la semirrecta
Una recta es una línea recta infinita: no tiene ningún límite. Como eso sería imposible de representar, dibujamos las rectas sin un punto en ninguno de sus extremos, entendiendo que eso significa que no terminan ahí sino que continúan hasta el infinito.
Para nombrar cualquier recta, utilizamos letras minúsculas, por ejemplo:
Sin embargo, también podemos limitarla con dos extremos, de modo que pasa de ser una recta a ser un segmento de recta. Cada uno de los extremos de este segmento es el último punto de la recta a cada lado. Estos puntos, o extremos, los llamamos con letras mayúsculas y llamamos al segmento por sus dos extremos:
Si delimitamos la recta solo en un extremo tendremos una semirrecta. La semirrecta empieza en un punto, al que llamamos origen, desde el que se extiende también al infinito. Llamamos también al origen con una letra mayúscula:
Un ángulo es la porción del plano que está comprendida entre las dos semirrectas y su origen común.
Dos semirrectas que comparten un origen no solo forman un ángulo, ¡forman dos ángulos!
Partes de un ángulo
En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos.
En el dibujo podemos ver dos, el A y el B.
Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen cada uno.
Tipos de ángulos
Hay varios tipos según su tamaño, es decir, en función de los grados que tenga:
- Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.
- Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí. En esta entrada del blog puedes aprender todo sobre los ángulos rectos.
- Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°. Para saber todo sobre el ángulo obtuso, revisa este post del blog de Smartick.
- Ángulo llano: Mide 180°. Igual que si juntamos dos ángulos rectos. Si quieres aprender más sobre ángulos llanos puedes leer este post de nuestro blog.
Con una imagen lo verás más fácil. Todo ángulo comprendido en la zona rosa es un ángulo agudo, y todo ángulo comprendido en la zona azul es un ángulo obtuso.
Ejemplos de ángulos en la vida cotidiana
A continuación veremos algunos ejemplos de ángulos en nuestra vida cotidiana.
- En el cono del helado y en la separación de los siguientes dedos tenemos ángulos agudos, ya que su abertura es menor de 90º.
- En la posición de los siguientes dedos en forma de L y en la esquina del corcho podemos observar los ángulos de 90°, rectos.
- La apertura del abanico es mayor que 90° y menor que 180°, por lo cual tenemos un ángulo obtuso.
- Y por último tenemos un brazo estirado formando un ángulo llano de 180°.
Ejercicios de ángulos
A continuación te dejamos varios ejemplos de ángulos que forman las agujas de un reloj. Escríbenos en comentarios y dinos qué tipo de ángulo es cada uno de ellos.
FUENTE https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/angulos-i/
Un ángulo es la superficie existente entre dos líneas rectas que parten de un mismo punto. A las líneas se las conoce como lados, y al punto, vértice.
Pongamos, por ejemplo, las agujas de un reloj. Tanto la aguja de las horas como la de los minutos están unidas en el mismo punto (el centro del reloj). El otro extremo de las agujas se separa a medida que pasa el tiempo, creando ángulos de diferentes aberturas.
Los ángulos se miden en grados, que es la distancia de separación entre ambas rectas. Cuanto más se abran las líneas rectas, mayor es el grado y la superficie del ángulo.
Para medir los grados de un ángulo y, por lo tanto, su abertura, se usa un instrumento de forma semicircular (o incluso circular) llamado transportador. Los grados se representan con un número seguido del signo º: 25º (veinticinco grados).
Tipos de ángulos
Existen diferentes tipos de ángulos que clasifican bajo criterios diferentes: su abertura, su posición y la suma (además de su posición en respecto a figuras geométricas).
Según su abertura en grados
Este criterio clasifica los ángulos según los grados de su abertura:
- Ángulo nulo: tiene 0º al no existir abertura entre las líneas.
- Ángulo agudo: su abertura es menor a 90º.
- Ángulo recto: mide exactamente 90º.
- Ángulo obtuso: este tipo de ángulo tiene una abertura de más de 90º y menos de 180º.
- Ángulo llano: tiene una abertura de 180º.
- Ángulo oblicuo (reflejo o cóncavo): mide más de 180º y menos de 360º.
- Ángulo perigonal: es el mayor de todos, pues mide 360º.
Ver también
Según su posición
Este criterio se basa en la posición de un ángulo respecto a otro:
- Los ángulos consecutivos son los que comparten el vértice y uno de los dos lados.
- Los ángulos adyacentes comparten el vértice y un lado para sumar 180º. Por lo tanto, si los consecutivos suman 180º, se llaman adyacentes.
- Los ángulos opuestos solo comparten el vértice, por lo que sus lados no coinciden.
Suma de ángulos
Otra clasificación se hace mediante el resultado de la suma de dos ángulos:
- Ángulos complementarios: suman 90º. Es decir, forman un ángulo recto.
- Ángulos suplementarios: suman 180º, un ángulo llano (resultado de dos ángulos adyacentes)
- Ángulos conjugados: suman 360º.
Según su posición en formas geométricas
Este criterio parte de la posición de un ángulo respecto a distintas formas geométricas.
Ángulos en una circunferencia:
- Ángulo central: el vértice del ángulo se encuentra en el centro de la circunferencia.
- Ángulo inscrito: el vértice toca uno de los puntos de la circunferencia. Lo mismo ocurre con los extremos de los lados (son secantes).
- Ángulo semiinscrito: el vértice toca uno de los puntos de la circunferencia. Uno de sus lados es secante y el otro es tangente.
Ángulos en polígonos:
- Ángulo interior: son los que se encuentran en el interior de un polígono.
- Ángulo exterior: son los que están en el exterior de un polígono.
https://www.significados.com/angulo/
mas teora
https://dinosenglish.edu.vn/ejercicios-de-angulos-para-tercero-de-primaria-para-imprimir-1690375729349691/
perímetro
Llamamos perímetro de un figura geométrica plana a la longitud de su contorno.
El perímetro es, por tanto, una medida de longitud, por lo que vendrá en centímetros, metros, pulgadas… en general, en unidades lineales.
El perímetro de una figura geométrica siempre puede calcularse sumando la longitud de cada uno de sus lados.
Puedes utilizar esta estrategia para calcular el perímetro de cualquier polígono.
Calcular el perímetro de figuras geométricas
Ahora que ya sabes lo que es el perímetro y cómo se calcula en un polígono cualquiera, vamos a ver cómo se calcula el perímetro de cada una de las siguientes figuras geométricas:
Calcular el perímetro de cuadrados
La característica especial del cuadrado es que tiene sus cuatro lados iguales. Podemos aprovechar esto para simplificar nuestros cálculos.
Puedes calcular el perímetro de este cuadrado sumando la longitud de cada uno de sus cuatro lados.
Perímetro = 6cm + 6cm + 6cm + 6cm = 24cm
Como los cuatro lados son iguales al multiplicar por cuatro la longitud del lado obtienes el mismo resultado.
Perímetro = 4 x 6cm = 24cm
Así, descubres una regla que te sirve para cualquier cuadrado.
Perímetro del cuadrado = 4 x longitud lado
Calcular el perímetro de rectángulos
En todos los rectángulos los lados opuestos son iguales, tiene lados que son iguales dos a dos.
Para calcular el perímetro del rectángulo del ejemplo puedes sumar la longitud de sus lados, dos 6cm y dos de 4cm.
Perímetro = 6cm + 4cm + 6cm + 4cm = 20cm
Cualquier rectángulo tiene repetidos 2 veces los dos lados. Así que, al multiplicar por dos la suma de las longitudes de la base y la altura llegamos al mismo resultado.
Perímetro = 2x (6cm + 4cm) = 20cm
Entonces, tienes una regla para cualquier rectángulo.
Perímetro del rectángulo = 2 x (base + altura)
Calcular el perímetro de rombos
El rombo tiene sus cuatro lados iguales. Pero no todos sus ángulos son iguales, sólo los ángulos opuestos son iguales entre sí.
Como los cuatro lados son iguales podemos multiplicar por cuatro la longitud del lado para obtener la medida del perímetro.
Perímetro = 4 x 5cm = 20cm
Esta regla es la misma que la de los cuadrados, porque también tienen sus cuatro lados iguales.
Perímetro del rombo = 4 x longitud lado
Los trapecios isósceles tienen una forma especial. Tienen dos lados oblicuos iguales y otros dos lados paralelos diferentes, la base mayor y la base menor.
En este caso, hay que multiplicar la longitud de uno de los lados oblicuos por dos y sumarle las longitudes de las dos bases.
Perímetro = 5cm x 2 + 12cm + 6cm = 28cm
Entonces, para calcular el perímetro de cualquier trapecio isósceles:
Perímetro del trapecio isósceles = longitud lado oblicuo x 2 + longitud base mayor + longitud base menor
Calcular el perímetro de polígonos escalonados
Los polígonos escalonados tienen una característica muy peculiar. La suma de las longitudes de los lados que son paralelos a la base mide lo mismo que la longitud de la base. Y lo mismo ocurre con la suma de las longitudes de los lados paralelos a la altura, que mide lo mismo que la longitud de la altura.
Así que para calcular el perímetro de cualquier polígono escalonado podemos utilizar la misma fórmula que para el rectángulo, porque podemos tratar la suma de las longitudes de los lados horizontales y de los verticales como si fueran igual a la longitud de la base y de la altura. Es como si tuviéramos repetidas las longitudes de la base y la altura.
Perímetro = 2x (6cm + 8cm) = 28cm
Esta regla sirve para cualquier polígono escalonado de este tipo:
Perímetro del polígono escalonado = 2 x (base + altura)
Calcular el perímetro de cualquier polígono regular
El rasgo que define a los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud.
Como el pentágono tiene cinco lados iguales, para hallar su perímetro se multiplica por cinco la longitud del lado.
Perímetro del pentágono = 5 x longitud lado
Y en el hexágono, que tiene seis lados iguales, multiplicas por seis la longitud de lado.
Perímetro del hexágono = 6 x longitud lado
De estos ejemplos podemos extraer una regla para calcular, de una manera sencilla, el perímetro de cualquier polígono regular.
Multiplicar el número de lados del polígono por la longitud del lado.
Perímetro de un polígono regular = nº lados x longitud lado
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