GEOMETRÍA 4

LAS FIGURAS GEOMETRICAS

figuras que delimitan superficies planas a través de un conjunto de líneas (lados) que unen sus puntos de un modo específico.

Se definen como superficies o un conjunto abstracto de puntos y líneas en variedad de orientaciones.

Las figuras geométricas son formas delimitadas en el plano o espacio, y son objeto de estudio de la geometría, una rama de las matemáticas. Estas formas pueden tener un área o volumen definido, dependiendo de las dimensiones que contengan.

Las figuras geométricas comprenden desde puntos y líneas a formas más complejas como triángulos, rectángulos, cubos o esferas. Todas tienen como característica común que poseen un tamaño finito. Al aumentar la complejidad de la forma, esta presenta lados o aristas, caras y vértices.

Tipos y nombres de las figuras geométricas

Figuras con 0 y 1 dimensión

Las figuras geométricas de 0 y 1 dimensión son las más sencillas, y ambas comprenden un total de tres tipos distintos. El punto es la única figura geométrica que no contiene dimensiones. En cuanto a las de 1 dimensión, solo la línea y la curva se consideran como tales.

La característica común de estas figuras geométricas es que no poseen un área, pues carecen de lados.

Figuras planas o de 2 dimensiones

Triángulo 
El triángulo es un polígono de tres lados.

El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.
Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.

Clasificación de los triángulos

Hay diferentes maneras de clasificar a los triángulos, según sus lados o sus ángulos.

Según sus ángulos

• Rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, mide 90º.
• Acutángulo: tiene 3 ángulos agudos, es decir, miden menos de 90º.
• Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, mide más de 90º.

Según sus lados

1. Equilátero: los 3 lados miden lo mismo.
2. Isósceles: tiene 2 lados que miden igual y otro desigual.
3. Escaleno: todos los lados tienen diferente longitud.

https://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/21003232/helvia/sitio/upload/apuntes3____triangulos.pdf 

https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/figuras-geometricas/

Tipos de triángulos según sus ángulos

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo a la amplitud de sus ángulos, los cuales pueden ser rectos (iguales que 90º); agudos (menores que 90º) y obtusos (mayores que 90º).

https://www.significados.com/angulo/

Figuras geométricas planas

Es la categorización que hace referencia a aquellas figuras en la que todos sus puntos están en un mismo plano. Estas son las formas que primero se enseñan a los niños en educación infantil. En este apartado, se describen las siguientes formas geométricas básicas con nombre particular:

Tipo de figuras

1. Triángulo.
2. Cuadrado.
3. Rectángulo.
4. Trapecio.
5. Círculo.
6. Rombo y romboide.

El Tangram es un rompecabezas que está compuesto por 7 piezas: un paralelogramo (romboide), un cuadrado y 5 triángulos. El objetivo de este juego es crear figuras utilizando las 7 piezas. Las piezas deben tocarse pero no superponerse.

Trabajando con el Tangram, aparte de estimular la creatividad y desarrollar la visión espacial, se profundiza en el conocimiento de diferentes áreas matemáticas, en concreto la geometría. Se puede utilizar para introducir algunos conceptos de la geometría plana.

Vamos a ver de qué figuras geométricas está formado el Tangram:

Triángulo: Es un polígono de tres lado y tres ángulos.

Cuadrado: Es un polígono de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Paralelogramo: Es un polígono paralelogramo de cuatro lados, cuyos lados y ángulos son iguales dos a dos.

https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/geometria-figuras-planas-tangram/

Qué es un cuadrilátero?

Son todas aquellas figuras geométricas planas y cerradas con 4 lados.

Clasificación de los cuadriláteros

La más generalizada de las clasificaciones de los cuadriláteros toma como referencia el tipo de paralelismo que existen entre los lados de las figuras. Así, pueden ser:

1. Paralelogramos
2. Trapecios
3. Trapezoides

Paralelogramos

Tienen todos sus lados paralelos 2 a 2. Esto quiere decir que los lados opuestos son paralelos entre sí. Los paralelogramos pueden ser: romboides, rectángulos, rombos y cuadrados.

Romboides

• Tienen todos los lados paralelos 2 a 2.
• Sus lados contiguos son desiguales.
• Dos de sus ángulos son mayores que los otros dos.

Rectángulos

• Tienen todos los lados paralelos 2 a 2.
• Los 4 ángulos interiores son iguales y rectos.

Rombos

• Tienen todos los lados paralelos 2 a 2.
• Los 4 lados son iguales.

Cuadrados

• Tienen todos los lados paralelos 2 a 2.
• Los 4 lados son iguales.
• Los 4 ángulos interiores son iguales y rectos.

Los cuadrados son los únicos cuadriláteros regulares (lados y ángulos iguales).

Debido a sus características comunes, se puede decir que el cuadrado es un rombo y un rectángulo y que los tres son romboides.

En este dibujo lo vas a entender mejor:

• El rectángulo es romboide.
• El rombo es romboide.
• El cuadrado es rectángulo, rombo y romboide.

Trapecios

• Tienen sólo 2 lados paralelos entre si
• Los otros dos lados no son paralelos.

Trapezoides

• No tiene ningún lado paralelo a otro
• Sus 4 lados no son paralelos.

El cuadrado es una figura geométrica que pertenece a los paralelogramos porque tiene 4 lados.

Los 4 lados miden lo mismo y son paralelos dos a dos. ¿Esto que quiere decir? Que tiene 2 lados paralelos entre sí, y los otros 2 también son paralelos entre sí.

Los 4 ángulos internos de un cuadrado miden 90º, es decir, son ángulos rectos. La suma de los 4 ángulos internos es de 360º.

Los 4 ángulos externos miden 270º.

Las dos diagonales que tienen son iguales y el punto donde se cortan las dos diagonales es el centro de simetría del cuadrado.

 

LOS POLIGONOS

Un polígono es el área de un plano que está delimitado por líneas que tienen que ser rectaS

PARTES

• Lados: son los segmentos que forman la línea poligonal.
• Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
• Ángulos: son las regiones del plano que delimitan dos lados.
• Diagonal: es la recta que une dos vértices no consecutivos.
• Centro: es el punto desde el que todos los ángulos y lados están a la misma distancia.
• Radio: es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices
• Apotema: es el segmento que une el centro del polígono con el centro de cualquiera de sus lados.
• Base: Es el lado inferior de un polígono. Normalmente es el lado donde se «apoya» la figura.

 

Clasificación de polígonos

Podemos clasificar los polígonos de tres formas diferentes:

• Clasificación de polígonos según sus lados:

  • Triángulo:  3 lados
  • Cuadrilátero: 4 lados
  • Pentágono: 5 lados
  • Hexágono: 6 lados
  • Heptágono: 7 lados
  • Octógono: 8 lados
  • Eneágono: 9 lados
  • Decágono: 10 lados
  • Endecágono: 11 lados
  • Dodecágono: 12 lados

 Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

 Los polígonos irregulares son los que no cumplen esas dos condiciones. 

CARACTERÍSTICAS de todos los POLÍGONOS REGULARES 

Las principales características de todos los polígonos regulares son: 

● Todos sus lados miden lo mismo. 

● Todos sus ángulos interiores miden lo mismo. 

● Todos sus ángulos exteriores miden lo mismo. 

● Tienen ángulos centrales y, además, todos miden lo mismo. 

● Sus ángulos centrales y sus ángulos exteriores, son exactamente iguales. 

● Solo a los polígonos regulares se le atribuye un centro geométrico, apotemas, radios y ángulos centrales. Los polígonos irregulares no lo tienen, pero en un momento dado, se les puede establecer un centro, o mediatrices de sus lados, o algún tipo de ángulo central según distintos criterios.

 ● Tienen varios ejes de simetría, el mismo número que los lados que tengan.

 ● Tienen el mismo número de diagonales que un polígono irregular (siempre y cuando ambos tengan el mismo número de lados).

 ● Todas sus diagonales miden lo mismo y todas son interiores.

 ● Sus diagonales generan formas geométricas simétricas. 

● Todo polígono regular es CÍCLICO o INCRITO, o sea, se pueden inscribir dentro de una circunferencia.

 ● En todo polígono regular es TANGENCIAL o CIRCUNSCRITO, o sea, se puede circunscribir una circunferencia en su interior que corte a sus lados en un punto. Además, en el caso de los polígonos regulares, la circunferencia los tocará en un punto que esté, justamente, en la mitad de cada uno de sus lados. Esto no ocurre en los polígonos irregulares tangenciales. 

● Existen polígonos regulares con cualquier número de lados, desde un mínimo de tres lados (triángulo equilátero) hasta infinitos lados. De hecho, cuando el número de lados de un polígono regular es infinito, tiende a convertirse en un círculo, pues sus lados, teóricamente, pasarían a convertirse en un solo punto en el espacio, que estarían a la misma distancia de su centro. 

Esa es la misma definición de circunferencia y círculo.

 Número de ejes de simetría          Sus diagonales generan formas simétricas      Son CÍCLICOS o INSCRITOS      Son TANGENCIALES o CIRCUNSCRITOS

POLÍGONOS REGULARES e IRREGULARES según su NÚMERO de LADOS

LASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
POLÍGONOS CÓNCAVOS	POLÍGONOS CONVEXOS
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS
POLÍGONOS REGULARES	POLÍGONOS IRREGULARES

 

ACTIVIDAD  

 SEGUNDO PERIODOPerímetro 

perímetro de un figura geométrica plana a la longitud de su contorno.

El perímetro es, por tanto, una medida de longitud, por lo que vendrá en centímetros, metros, pulgadas… en general, en unidades lineales.

Perímetro de un polígono

Como vemos en la imagen el primer polígono (el de color anaranjado) es un polígono regular

fuente  https://www.mundoprimaria.com/recursos-matematicas/poligonos

Áreas

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

ÁREA = BASE X ALTURA

ÁREA = b x h

ÁREA = 9 cm x 3 cm

ÁREA = 27 cm²

ÁREA DE UN CUADRADO

ÁREA = b x h => ÁREA = LADO X LADO

ÁREA = l²

ÁREA = 5 cm x 5 cm = 25 cm²

ÁREA = 5² = 25 cm²

 

Propiedades de los polígonos

Vamos a ver ahora algunas de las propiedades de los polígonos:

• En un polígono coincide que sus lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. A este dato se le conoce como «n». Es decir un héxagono, por ejemplo, tendrá 6 lados, 6 vértices, 6 ángulos interiores, 6 ángulos exteriores y 6 ángulos centrales. Para el caso del hexágono n=6
• La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180°(n-2)

• En un polígono convexo, la suma de los ángulos exteriores es siempre 360°

• El número de diagonales de un polígono es Nd=n(n-3)/2

• A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3) diagonales.

• Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtienen (n-2) triángulos.

https://www.mundoprimaria.com/recursos-matematicas/poligonos

Figuras geométricas sólidas

También conocida como figuras geométricas 3d o tridimensionales. Se diferencian de las anteriores por la disposición de sus elementos en un plano. En lugar de estar fijos a uno, constan de superficies y planos variados que promueven una identidad tridimensional. Esencialmente, las más conocidas y estudiadas figuras geométricas sólidas son:

Tipo de figuras

1. Cubo.
2. Esfera.
3. Prisma.
4. Pirámide.
5. Tetraedro.
6. Cilindro.

https://www.webcolegios.com/file/0dadd1.pdf

Una esfera es una figura sólida que no tiene caras, aristas, ni vértices. Esto se debe a que es completamente redonda; no tiene lados planos o esquinas.

Un cono tiene una cara, pero no tiene aristas ni vértices. Su cara tiene la forma de un círculo. Ya que un círculo tiene una forma plano, es una cara. Pero, debido a que es redondo alrededor de su exterior, no forma ninguna arista o vértice. Aprenderás más acerca de esto en unos minutos.

Un cilindro tiene dos caras circulares, pero tampoco tiene aristas o vértices.

Las Pirámides tienen una base y al menos tres lados triangulares. Una pirámide triangular tiene una base triangular y otras tres caras triangulares, o cuatro en total. Una pirámide rectangular tiene una base rectangular y otras cuatro caras triangulares, o cinco en total. Tiene aristas y vértices donde todas sus caras se encuentran y siempre tiene un vértice en su cúspide.

Un prisma es una figura sólida que tiene dos bases paralelas congruentes y una cantidad cualquiera de lados. En otras palabras, puede tener cualquier número de caras, pero al menos dos de estas deben ser paralelas. La forma de las dos bases paralelas puede ser un triángulo, cuadrado, rectángulo, pentágono, hexágono o cualquier otro tipo de polígono. El número de lados que tienen las bases determina el número de caras que tiene la figura. El número de aristas y vértices también depende de la forma de la base. Aquí hay algunos prismas.

Como puedes ver, hay varios tipos de prismas. La forma de las bases nos indica que tipo de prisma es.

Identifica cada figura sólida. Se tan específico como puedas.

Ejemplo A

Solución: Prisma Pentagonal

Ejemplo B

Solución: Pirámide Triangular

Ejemplo C

Solución: Cono

https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-conceptos-de-matem%C3%A1ticas-de-la-escuela-secundaria-grado-7-en-espa%C3%B1ol/section/10.1/primary/lesson/clasificaci%C3%B3n-de-figuras-s%C3%B3lidas-%3A%3Aof%3A%3A-clasificaci%C3%B3n-de-figuras-s%C3%B3lidas-%3A%3Aof%3A%3A-ck-12-conceptos-escuela-de-matem%C3%A1ticas-medio-grado-7/

Cuerpos geométricos o figuras con 3 dimensiones

Los cuerpos geométricos se caracterizan por describir formas extendidas a lo largo de las tres dimensiones. Es decir, son figuras delimitadas que poseen altura, anchura y profundidad. Además de los ángulos y lados, conocidos como aristas, podemos describir estas figuras según la forma de la base y el número de caras y vértices.

Algunos de los cuerpos geométricos son:

• Cubo: es una figura de 6 caras en el que todas las aristas y ángulos son iguales.
• Esfera: es una forma que, en teoría, contiene un número infinito de vértices y caras equidistantes con respecto al centro.
• Pirámide: es una figura de base poligonal en el que los vértices del polígono conectan a un mismo punto, formando caras laterales en forma de triángulos. La base puede tener un número variado de aristas, como un cuadrado, pentágono o decágono. Si la base es triangular, la figura se conoce también como tetraedro.
• Cilindro: es cuerpo de base circular que, en teoría, posee un número infinito de caras laterales.
• Cono: es una figura de base circular en el que todos los vértices de la base conectan a un mismo punto, formando un número infinito de caras laterales en forma de triángulos.
• Prisma: es un cuerpo geométrico de base y caras poligonales. La base puede ser un triángulo, cuadrado, pentágono o tener un mayor número de aristas.
• Dodecaedro: es una esfera más simple que contiene 12 caras.

Dentro de los cuerpos geométricos podemos hablar de poliedros, que contienen caras planas apreciables. De la lista de arriba, el cubo, la pirámide, el prisma y el dodecaedro son poliedros.

https://www.significados.com/que-son-figuras-geometricas/

Calcular perímetros de cualquier polígono

Vamos a presentar la primera estrategia para el cálculo de perímetros. No importa el número de lados que tenga el polígono.

El perímetro de una figura geométrica siempre puede calcularse sumando la longitud de cada uno de sus lados.

Para calcular el perímetro hay que sumar las longitudes de sus lados: 17cm + 15cm + 11cm = 43cm

 

Puedes utilizar esta estrategia para calcular el perímetro de cualquier polígono.

Calcular el perímetro de triángulos equiláteros

Igual que en los cuadrados, los lados de los triángulos equiláteros son iguales. Todos miden lo mismo.

Cada lado mide 7cm y puedes calcular la longitud de su contorno de la siguiente manera.

Perímetro = 7cm + 7cm + 7cm = 21cm

O de una manera más fácil. Como los tres lados son iguales puedes multiplicar por tres la longitud del lado y el resultado no cambia.

Perímetro = 3 x 7cm = 21cm

Y esto sirve para cualquier triángulo equilátero.

Perímetro del triángulo equilátero = 3 x longitud lado

alcular el perímetro de triángulos isósceles

En los triángulos isósceles dos de sus lados son iguales y uno diferente.

Para recordar los tipos de triángulos puedes visitar este post.

Como tiene dos lados iguales y uno diferente, para calcular el perímetro sólo  tenemos que multiplicar por 2 la longitud del lado que se repite y sumarle la del lado diferente.

Perímetro = 5cm x 2 + 6cm = 16cm

Así, para cualquier triángulo isósceles:

Perímetro triángulo isósceles = longitud lado repetido x 2 + longitud lado diferente

Calcular el perímetro de polígonos escalonados

Los polígonos escalonados tienen una característica muy peculiar. La suma de las longitudes de los lados que son paralelos a la base mide lo mismo que la longitud de la base. Y lo mismo ocurre con la suma de las longitudes de los lados paralelos a la altura, que mide lo mismo que la longitud de la altura.

Así que para calcular el perímetro de cualquier polígono escalonado podemos utilizar la misma fórmula que para el rectángulo, porque podemos tratar la suma de las longitudes de los lados horizontales y de los verticales como si fueran igual a la longitud de la base y de la altura. Es como si tuviéramos repetidas las longitudes de la base y la altura.

Perímetro = 2x (6cm + 8cm) = 28cm

Esta regla sirve para cualquier polígono escalonado de este tipo:

Perímetro del polígono escalonado = 2 x (base + altura)